Trigonometry (त्रिकोणमिति)
चैप्टर गाइड, महत्वपूर्ण सूत्र, प्रश्न के प्रकार और 25 अभ्यास प्रश्न
1. Chapter Details (अध्याय का विवरण)
त्रिकोणमिति (Trigonometry): गणित की वह शाखा है जो समकोण त्रिभुज (Right-Angled Triangle) की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है।
मूल अनुपात (Basic Ratios):
• sin θ = लम्ब / कर्ण (P/H) | cos θ = आधार / कर्ण (B/H) | tan θ = लम्ब / आधार (P/B)
• cosec θ = 1/sin θ | sec θ = 1/cos θ | cot θ = 1/tan θ
सर्वसमिकाएँ (Fundamental Identities):
1. sin²θ + cos²θ = 1
2. 1 + tan²θ = sec²θ
3. 1 + cot²θ = cosec²θ
मुख्य कोण मान तालिका (Trigonometric Table)
| Ratio / Angle | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos θ | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan θ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | अपरिभाषित (∞) |
2. Exam Importance (परीक्षा में महत्व)
प्रतियोगी परीक्षाओं में Advance Mathematics वर्ग में Trigonometry सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है:
- SSC CGL / CHSL: Tier-1 में 2 से 4 प्रश्न और Tier-2 में 3 से 5 प्रश्न पूछे जाते हैं।
- Railway (RRB NTPC, Group D, ALP): 2 से 3 प्रश्न सीधे मान या हाइट एंड डिस्टेंस (Height & Distance) से संबंधित होते हैं।
- CDS / NDA: 10 से 15 तक प्रश्न त्रिकोणमिति और ऊँचाई एवं दूरी से आते हैं।
- State & Defence Exams: 1 से 2 बेसिक प्रश्न।
3. Types of Questions with Examples
प्रकार 1: अनुपात एवं समकोण त्रिभुज (Basic Ratios & Pythagoras)
उदाहरण: यदि sin θ = 3/5 है, तो tan θ का मान क्या होगा?
हल: लम्ब (P) = 3, कर्ण (H) = 5. पाइथागोरस से आधार (B) = √(5² – 3²) = 4. अतः tan θ = P/B = 3/4.
प्रकार 2: कोणों के मानों पर आधारित (Angle Value Based)
उदाहरण: sin 30° + cos 60° का मान क्या होगा?
हल: sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2. मान = (1/2) + (1/2) = 1.
प्रकार 3: पूरक कोण (Complementary Angles: 90° – θ)
उदाहरण: sin 20° / cos 70° का मान ज्ञात करें।
हल: cos 70° = sin (90° – 70°) = sin 20°. अतः sin 20° / sin 20° = 1.
प्रकार 4: सर्वसमिकाओं पर आधारित (Identity Based Problems)
उदाहरण: (sec θ + tan θ)(1 – sin θ) का मान क्या होगा?
हल: (1/cos θ + sin θ/cos θ)(1 – sin θ) = (1 + sin θ)(1 – sin θ)/cos θ = (1 – sin²θ)/cos θ = cos²θ/cos θ = cos θ.
प्रकार 5: ऊँचाई और दूरी (Height and Distance)
उदाहरण: यदि एक मीनार की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर है, तो सूर्य का उन्नयन कोण (Angle of Elevation) क्या है?
हल: tan θ = ऊँचाई / छाया = h / h = 1 ⇒ θ = 45°.