Maths – Chapter 1

Number System: संख्या पद्धति

अंतिम अपडेट: 2026 | विषय: प्रतियोगी परीक्षा अध्याय हल

संख्या पद्धति (Number System) गणित की वह शाखा है जिसमें संख्याओं के गुणों और उनके संबंधों का अध्ययन किया जाता है। प्रतियोगी परीक्षाओं जैसे SSC CGL, CHSL और Railway में इस अध्याय का महत्व अत्यधिक है। इस अध्याय में प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ , पूर्णांक, परिमेय-अपरिमेय संख्याएँ, दशमलव भिन्न, शेषफल प्रमेय, विभाज्यता के नियम जैसे विषय शामिल होते हैं।

संख्या पद्धति की अच्छी समझ से विद्यार्थी तेजी से गणना कर पाते है और Arithmetic के अन्य chapters को भी आसानी से हल कर सकते है। इसलिए परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए यह अध्याय अत्यंत आवश्यक है ।

संख्या पद्धति वह प्रणाली है जिसमें हम संख्याओं के गुणों उनके वर्गीकरण और उनके बीच के संबंधों का अध्ययन करते हैं। परीक्षाओं में इस chapter से लगभग 2 से 5 प्रश्न निश्चित रूप से पूछे जाते हैं। यहाँ हम इस अध्याय के महत्वपूर्ण नियमों, सूत्रों और शार्टकट ट्रिक्स को समझेगें।
सबसे पहले यह समझते हैं कि संख्याओं को कितने प्रकार से दरसाया जाता है।

ध्यान रखें : संख्याओं को चार तरह से दरसाया जाता है ।

दशमलव पद्धति
बाइनरी पद्धति
ऑक्टा दशमलव पद्धति
हैक्सा दशमलव पद्धति

प्रतियोगी परीक्षाओ में अक्सर दशमलव पद्धति से प्रश्न पूछे जाते हैं ।

दशमलव पद्धति ( Decimal system )

दशमलव पद्धति संख्या पद्धति का एक महत्वपूर्ण भाग है, जिसमें संख्याओं को 10 के आधार (base- 10 ) पर व्यक्त किया जाता है। इस पद्धति में अंक 0 से 9 तक होते हैं और प्रत्येक स्थान का मान 10 की घातों पर आधारित होता है। प्रतियोगी परीक्षाओ में दशमलव पद्धति के प्रश्न जैसे वास्तविक मान, स्थानीय मान, दशमलव को भिन्न में बदलना, भिन्न को दशमलव में बदलना, terminating और , non-terminating decimals आदि से पूछे जाते हैं।

कुछ उदाहरण ( Examples )

प्रश्न: संख्या 426853 में अंक 8 का स्थानीय मान व अंक 2 का वास्ताविक मान क्या है ?

समाधान:
अंक 8 का स्थानीय मान = 800
अंक 2 का वास्तविक मान = 2

प्रश्न: संख्या 3.02 को भिन्न में बदलें ?

समाधान:
3.02 = \(\frac{302}{100} \)
= \(\frac{151}{50} \)

प्रश्न: भिन्न \(\frac{15}{ 8}\) को दशमलव में बदलें ?

समाधान:
भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए हर से अंश का भाग करें ।
= \(\frac{15}{8}\) = 1.875

प्रश्न: सांत दशमलव कौन सी है ?

समाधान:
3.02 = \(\frac{302}{100}\)
= \(\frac{151}{50}\)

प्रश्न: असांत दशमलव कौन सा है ?

समाधान:
\(\frac{5}{9}\)
= 0.55555….

संख्याओं का वर्गीकरण ( Classification )

प्रश्नों को हल करने के लिए सबसे पहले यह जानना जरूरी है कि संख्याएँ कितने प्रकार की होती हैं। संख्याओं को उनके गुणों और उपयोग के आधार पर विभिन्न वर्गों में बाँटा गया है, जिससे गणितीय समस्याओं को समझना और हल करना आसान हो जाता है। कुछ बेहद जरूरी मुख्य वर्गीकरण इस प्रकार हैं –

प्राकृतिक संख्याएँ

1, 2, 3, …, 8, 9, 10, 11, …, 90, 91, … 100, …..,etc. गिनती के लिए प्रयुक्त संख्याएँ ।

पूर्ण संख्याएँ

0 सहित सभी प्राकृतिक संख्याएँ जैसे : 0, 1, 2, 3, 4, …….10, 11, …. , 100, 101, …., etc.

पूर्णांक

धनात्मक, ऋणात्मक संख्याएँ तथा 0 जैसे : …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

परिमेय संख्याएँ

जिन्हे P/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ q = 0 हो जैसे : 1/2, 3/5 , 0.25 , … , etc.

अपरिमेय संख्याएँ

जिन्हे P/q के रूप में नहीं लिखा जा सके, जहाँ q = 0 हो जैसे : root2, pi , … , etc.

वास्तविक संख्याएँ

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समूह

सम संख्याएँ

वे संख्याएँ जो 2 से विभाज्य हों , जैसे : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 20, 50, 100, …, etc.

विषय संख्याएँ

वे संख्याएँ जो 2 से विभाज्य न हों , जैसे : 1, 3, 5, 11, 15, 17, 19, …, etc.

भाज्य संख्याएँ

वे संख्याएँ जो 1 व अन्य संख्या से भाज्य हों, जैसे : 6, 8, 9, …., etc.

अभाज्य संख्याएँ

वे संख्याएँ जो 1 व स्वयं के अलावा किसी से भाज्य न हों, जैसेः 2, 3, 5, …., etc.

सह -अभाज्य संख्या (Co-Prime Numbers)

जिनके गुणनखण्ड में 1 के अलावा कोई गुणनखण्ड समान न हो , जैसे : ( 2,3), (3,5), …, etc.

क्रमागत संख्याएँ

जो एक दूसरे के बाद एक निर्धारित क्रमानुसार आती हैं।

संख्याओं के सम – विषय गुण

1: सम + सम = सम
2: सम + विषय = विषय
3: सम – सम = सम
4: सम – विषय = विषय
5: समx सम = सम

विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)

बड़े डेटा सेट को कम समय में हल करने के लिए ये नियम ‘टाइम-सेवर’ का काम करते हैं:

Rule of 8: यदि संख्या के अंतिम 3 अंक 8 से विभाजित हों।
Rule of 9: यदि सभी अंकों का डिजिटल सम (Digital Sum) 9 हो।
Rule of 11: एकांतर अंकों के योग का अंतर 0 या 11 हो।

महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र

• Sum of first ‘n’ natural numbers: n(n+1)/2

• Sum of squares: n(n+1)(2n+1)/6

• Sum of cubes: [n(n+1)/2]²

कुछ उदाहरण (Solved)

Case Study: Sum of Squares

प्रश्न: प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग क्या होगा?

समाधान:
संख्याएँ : \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2 \)
n = 10
Formula = \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) = \(\frac{10(10+1)(2 \times 10+1)}{ 6 }\)
= \(\frac{(10 \times 11 \times 21)}{6}\)
= 385.

प्रश्न :यदि n एक पूर्ण संख्या है जो 1 से बड़ी है, तो \(n^2(n^2 – 1)\) हमेशा किससे विभाज्य (divisible) होगा?

समाधान:
माना सबसे छोटी पूर्ण संख्या n = 2 (चूंकि n > 1 है)
\(n^2(n^2 – 1) = 2^2(2^2 – 1) = 4(4 – 1) = 4 \times 3 = 12 \)
यदि n = 3 लें, तो \(3^2(3^2 – 1)\) = 9(9 – 1) = \(9 \times 8\) = 72 (यह भी 12 से विभाज्य है)।
अतः यह हमेशा 12 से विभाज्य होगा।

प्रश्न : संख्या \(4^{61} + 4^{62} + 4^{63} + 4^{64} \)किस संख्या से पूर्णतः विभाज्य है?

समाधान : व्यंजक से \(4^{61}\) कॉमन लेने पर:
\(4^{61}\left(1 + 4^1 + 4^2 + 4^3\right) \)
= \(4^{61}(1 + 4 + 16 + 64) \)
= \(4^{61} \times 85\)
चूंकि 85 =\( 5 \times 17\), इसे हम \(4^{60} \times 4 \times 85 = 4^{60} \times 340\) लिख सकते हैं। 340 का अंतिम अंक 0 है, इसलिए यह 10 से पूर्णतः विभाज्य है।

एक्सपर्ट स्ट्रेटेजी (Expert Strategy)

💡 स्मार्ट एप्रोच:
यूनिट डिजिट (Unit Digit) का उपयोग करें! यदि विकल्प दूर-दूर हैं, तो पूरा कैलकुलेशन करने के बजाय सिर्फ अंतिम अंकों को जोड़कर या गुणा करके सही उत्तर का चुनाव करें। इससे आप प्रति प्रश्न 15-20 सेकंड बचा सकते हैं।

अभ्यास प्रश्न (14 Important Questions)

ये प्रश्न पिछले वर्षों की परीक्षाओं (SSC, Railway, Banking) के पैटर्न पर आधारित हैं। पहले स्वयं हल करने का प्रयास करें, फिर समाधान देखें।

MCQs & Solutions

निम्न में से कौन सी संख्या अभाज्य (Prime) है?
(A) 91 (B) 93 (C) 97 (D) 95

समाधान देखें
उत्तर: (C) 97.
91 (13×7), 93 (31×3), और 95 (19×5) विभाज्य हैं। 97 के केवल दो गुणनखंड हैं।
प्रथम 20 विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या होगा?

समाधान देखें
सूत्र: n²
यहाँ n = 20 है। अतः योग = 20² = 400.
संख्या 4532* में ‘*’ के स्थान पर क्या आए कि वह 9 से पूर्णतः विभाजित हो?

समाधान देखें
नियम: अंकों का योग 9 से कटना चाहिए।
4+5+3+2 = 14.
14 के बाद अगली संख्या जो 9 से कटती है वह 18 है।
अतः * = 18 – 14 = 4.
(25)⁶² × (36)⁵² × (73)⁵⁴ में इकाई अंक (Unit Digit) क्या है?

समाधान देखें
5 की घात कुछ भी हो, इकाई अंक 5 होगा।
6 की घात कुछ भी हो, इकाई अंक 6 होगा।
3 की घात 54: 54 को 4 से भाग देने पर शेष 2 आता है (3² = 9)।
5 × 6 × 9 = 270. इकाई अंक = 0.
दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है। यदि संख्या में 27 जोड़ दिया जाए, तो अंक पलट जाते हैं। संख्या क्या है?

समाधान देखें
माना संख्या ( 10x + y )है।
प्रश्नानुसार ; 10x + y + 27 = 10y +x
10x – x + y – 10y = -27
9x – 9y = -27
x – y = -3 …(i)
दिया है : x + y = 9 …(ii)
समीकरण (i) व (ii) से , x = 3 , y = 6
अर्थात् 36 + 27 = 63 (अंक पलट गए)। अतः संख्या 36 है।
सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन सी है?

समाधान देखें
उत्तर: 2 (यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या भी है)।
100 और 200 के बीच कितनी संख्याएँ 3 से पूर्णतः विभाजित हैं?

समाधान देखें
पहली संख्या = 102, अंतिम = 198.
\(n = \frac{(Last – First)}{Difference} + 1\) = \(\frac{(198-102)}{3} + 1 \)= 32 + 1 = 33.
यदि n एक सम संख्या है, तो (6ⁿ – 1) हमेशा किससे विभाजित होगा?

समाधान देखें
n=2 रखने पर: 6² – 1 = 35. यह 5 और 7 दोनों से विभाजित होगा।
1 से 100 तक की गिनती में अंक ‘5’ कितनी बार आता है?

समाधान देखें
उत्तर: 20 बार (5, 15… 50, 51… 95)।
किस संख्या का वर्ग करने पर इकाई स्थान पर 2, 3, 7 या 8 नहीं आ सकता?

समाधान देखें
नियम: किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या के अंत में 2, 3, 7, या 8 कभी नहीं आता।
जब किसी संख्या को 121 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 25 प्राप्त होता है । यदि उसी संख्या को 11 से विभाजित किया जाए, तो शेषफल होगा ?
[A] 1 [B] 3 [C] 11 [D] 25
समाधान देखें
Answer (B) : मान लिजिए संख्या \( x \) है।
Formula: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
\(\Rightarrow x \) = 121 × 1 + 25
\(\Rightarrow \) \( x \) = 146
अब संख्या \( x \) = 146 को 11 से भाग करें ।
\(\Rightarrow \) \(\frac{146}{11}\) = 3, 11 से भाग करने पर शेषफल 3 प्राप्त होता है ।
अतः शेषफल 3 होगा ।
दो संख्याओं का योग 76 है और उनमें से एक संख्या दूसरी संख्या से 10 अधिक है । बड़ी संख्या ज्ञात करें ?
[A] 42 [B] 38 [C] 33 [D] 43
समाधान देखें
Answer (D) : मान लिजिए संख्या \( x , y\) हैं।
दिया है : \( x + y = 10 \) …(1)
\(\Rightarrow \) एक संख्या दूसरी संख्या से 10 अधिक है अर्थात्
\(\Rightarrow \) \( x – y = 10 \) …(2)
समीकरण (1) व (2) से,
\(\Rightarrow x \) = \(\frac{76+10}{2}\) = \(\frac{86}{2}\) = 43
अतः बड़ी संख्या 43 है।
यदि तीन अंकों की एक संख्या 23n , 9 से विभाज्य है, तो n का मान बताइए ?
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 1
समाधान देखें
Answer (c) : 9 से विभाज्यता के निमय से, संख्या के अंकों का योग 9 से भाज्य होना चाहिए ।
अर्थात् 2 + 3 + n = 9 × 1
\(\Rightarrow \) 5 + n = 9
\(\Rightarrow \) n = 9 – 5
\(\Rightarrow \) n = 4
अतः n का मान 4 होगा।
यदि किसी भिन्न के हर में 1 जोड़ दिया जाये तो भिन्न \(\frac{1}{3}\) हो जाता है। यदि अंश मे \(\frac{1}{2}\) घटा दिया जाये तो भिन्न का मान \(\frac{1}{4}\) हो जाता है। भिन्न के अंश और हर का गुणनफल क्या है ?
[A] 5 [B] 3 [C] 4 [D] 2
समाधान देखें
Answer (D) : मान लिजिए भिन्न \(\frac{x}{y}\) है।
पहली शर्त : \(\frac{x}{y + 1}\) = \(\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \) 3x = y + 1 …(1)
दूसरी शर्त : \(\frac{x – \frac{1}{2}}{y}\) = \(\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \) 4 × ( x – \(\frac{1}{2}\) ) = y
\(\Rightarrow \) 4x – 2 = y …(2)
समीकरण (1) व (2) से,
3x = 4x – 2 + 1
4x – 3x= 2 – 1
x = 1
\(\Rightarrow \) x = 1
समीकरण (2) से ,
4 × 1 – 2 = y
\(\Rightarrow \) y = 2
अतः भिन्न \(\frac{1}{2}\) है तथा इसके अंश व हर का गुणनफल 1 × 2 = 2 होगा।