प्रतिशत (Percentage)
अंकगणित की नींव – गणना कौशल और समझ को मजबूत करें
1. प्रतिशत
प्रतिशत (Percentage) शब्द लैटिन शब्द ‘Per Centum’ से आया है, जिसका अर्थ है “प्रति सौ” या “सौ में से”। इसे चिन्ह % द्वारा दर्शाया जाता है। प्रतिशत वह भिन्न (Fraction) है जिसका हर (Denominator) हमेशा 100 होता है।
उदाहरण के लिए, यदि हम कहें कि 25% छात्र अनुपस्थित हैं, तो इसका अर्थ है कि प्रत्येक 100 छात्रों में से 25 छात्र अनुपस्थित हैं। गणितीय रूप में: 25% = 25 / 100 = 1 / 4
फास्ट कैलकुलेशन के लिए महत्वपूर्ण भिन्न-प्रतिशत रूपांतरण तालिका:
| भिन्न (Fraction) | प्रतिशत (%) | भिन्न (Fraction) | प्रतिशत (%) |
|---|---|---|---|
| 1 | 100% | 1/6 | 16.67% या 16 ⅔% |
| 1/2 | 50% | 1/8 | 12.5% या 12 ½% |
| 1/3 | 33.33% या 33 ⅓% | 1/10 | 10% |
| 1/4 | 25% | 1/12 | 8.33% |
| 1/5 | 20% | 1/15 | 6.67% |
महत्वपूर्ण सूत्र (Formulas):
- A का B प्रतिशत निकालना: मान = (A × B) / 100
- प्रतिशत वृद्धि (% Increase): [ (वास्तविक मूल्य में वृद्धि) / (प्रारंभिक मूल्य) ] × 100
- प्रतिशत कमी (% Decrease): [ (वास्तविक मूल्य में कमी) / (प्रारंभिक मूल्य) ] × 100
- संख्या को प्रतिशत में बदलना: किसी भिन्न या संख्या को प्रतिशत में बदलने के लिए उसे 100 से गुणा करते हैं।
- क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन (Successive Percentage Change): यदि किसी मान में पहले x% और फिर y% का परिवर्तन होता है, तो कुल परिवर्तन = [ x + y + (x × y) / 100 ]%
2. प्रतियोगी परीक्षाओं में महत्व
प्रतिशत पूरे क्वांटिटेटिव एप्टीट्यूड (गणित) विषय की रीढ़ है। इसे सीधे तौर पर समझने से अन्य कई अध्याय बेहद आसान हो जाते हैं।
- उच्च स्कोरिंग और प्रत्यक्ष प्रश्न: सभी प्रमुख परीक्षाओं (जैसे SSC CGL, Bank PO, Railways, CSAT) में इस अध्याय से सीधे तौर पर 3 से 5 प्रश्न पूछे जाते हैं।
- अन्य अध्यायों से संबंध: लाभ और हानि, साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज (SI & CI), अनुपात और समानुपात, तथा मिश्रण (Alligation) जैसे अध्यायों के प्रश्न पूरी तरह से प्रतिशत के सिद्धांतों पर आधारित होते हैं।
- डेटा व्याख्या (DI – Data Interpretation): बैंक और प्रशासनिक परीक्षाओं में पूछे जाने वाले पाई चार्ट, बार ग्राफ और टेबल आधारित DI प्रश्नों में 90% से अधिक गणनाएं प्रतिशत पर आधारित होती हैं।
- समय प्रबंधन: फ्रैक्शन वैल्यू चार्ट का उपयोग करने से बड़ी गणनाएँ चुटकियों में हल हो जाती हैं, जिससे परीक्षा हॉल में अमूल्य समय बचता है।
3. उदाहरण के साथ प्रश्नों के प्रकार
प्रकार 1: बुनियादी प्रतिशत तुलना
एक संख्या की दूसरी संख्या से तुलना या प्रतिशत भिन्न निकालना।
उदाहरण: यदि A की आय B की आय से 25% अधिक है, तो B की आय A की आय से कितने प्रतिशत कम है?
समाधान:
मान लीजिए B की आय = ₹100।
तब A की आय = ₹125।
कमी = 125 – 100 = ₹25।
प्रतिशत कमी = (25 / 125) × 100 = (1 / 5) × 100 = 20%.
समाधान:
मान लीजिए B की आय = ₹100।
तब A की आय = ₹125।
कमी = 125 – 100 = ₹25।
प्रतिशत कमी = (25 / 125) × 100 = (1 / 5) × 100 = 20%.
प्रकार 2: खपत और मूल्य में परिवर्तन
जब किसी वस्तु की कीमत बढ़ती या घटती है और बजट को स्थिर रखना होता है।
उदाहरण: चीनी के मूल्य में 20% की वृद्धि होने पर एक परिवार को इसकी खपत में कितने प्रतिशत की कमी करनी चाहिए ताकि कुल खर्च न बढ़े?
समाधान:
शॉर्टकट सूत्र: कमी% = [ R / (100 + R) ] × 100
यहाँ R = 20 है।
खपत में कमी = [ 20 / (100 + 20) ] × 100 = (20 / 120) × 100 = 16.67%.
समाधान:
शॉर्टकट सूत्र: कमी% = [ R / (100 + R) ] × 100
यहाँ R = 20 है।
खपत में कमी = [ 20 / (100 + 20) ] × 100 = (20 / 120) × 100 = 16.67%.
प्रकार 3: परीक्षा अंक और पास-फेल आधारित प्रश्न
उत्तीर्ण होने के लिए आवश्यक न्यूनतम अंक और उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त अंकों की तुलना।
उदाहरण: एक छात्र को पास होने के लिए 33% अंक प्राप्त करने थे। उसने 210 अंक प्राप्त किए और वह 21 अंकों से फेल हो गया। परीक्षा के अधिकतम अंक ज्ञात कीजिए।
समाधान:
पास होने के लिए आवश्यक न्यूनतम अंक = 210 + 21 = 231 अंक।
दिया गया है: 33% = 231 अंक।
अधिकतम अंक (100%) = (231 / 33) × 100 = 7 × 100 = 700 अंक।
समाधान:
पास होने के लिए आवश्यक न्यूनतम अंक = 210 + 21 = 231 अंक।
दिया गया है: 33% = 231 अंक।
अधिकतम अंक (100%) = (231 / 33) × 100 = 7 × 100 = 700 अंक।
प्रकार 4: चुनाव संबंधी प्रश्न
दो या अधिक उम्मीदवारों के बीच मतों के प्रतिशत पर आधारित प्रश्न।
उदाहरण: एक चुनाव में दो उम्मीदवारों ने भाग लिया। जीतने वाले उम्मीदवार को कुल मतों का 60% मिला और वह 1600 मतों से जीत गया। कुल मतों की संख्या ज्ञात कीजिए।
समाधान:
विजेता को मिले मत = 60%.
हारने वाले को मिले मत = 100% – 60% = 40%.
जीत का अंतर = 60% – 40% = 20%.
दिया है: 20% = 1600 मत।
कुल मत (100%) = (1600 / 20) × 100 = 8000 मत।
समाधान:
विजेता को मिले मत = 60%.
हारने वाले को मिले मत = 100% – 60% = 40%.
जीत का अंतर = 60% – 40% = 20%.
दिया है: 20% = 1600 मत।
कुल मत (100%) = (1600 / 20) × 100 = 8000 मत।
4. समाधान के साथ 15 अभ्यास प्रश्न
इन चुनिंदा प्रश्नों को स्वयं हल करने का प्रयास करें और अपनी तैयारी की जांच करें। समाधान देखने के लिए प्रत्येक प्रश्न के नीचे दिए गए बटन पर क्लिक करें।
प्रश्न 1. यदि 480 का 25% + 500 का x% = 320 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
480 का 25% (यानी 1/4) = 480 / 4 = 120.
दिया गया है: 120 + 500 का x% = 320
⇒ 500 का x% = 320 – 120 = 200
⇒ (500 × x) / 100 = 200
⇒ 5x = 200 ⇒ x = 40.
दिया गया है: 120 + 500 का x% = 320
⇒ 500 का x% = 320 – 120 = 200
⇒ (500 × x) / 100 = 200
⇒ 5x = 200 ⇒ x = 40.
प्रश्न 2. यदि A की आय, B की आय से 20% कम है, तो B की आय, A की आय से कितने प्रतिशत अधिक है?
मान लीजिए B की आय = ₹100.
A की आय = B से 20% कम = ₹80.
B की आय, A से अधिक है = 100 – 80 = ₹20.
प्रतिशत अधिकता = (अधिकता / A की आय) × 100 = (20 / 80) × 100 = 25%.
A की आय = B से 20% कम = ₹80.
B की आय, A से अधिक है = 100 – 80 = ₹20.
प्रतिशत अधिकता = (अधिकता / A की आय) × 100 = (20 / 80) × 100 = 25%.
प्रश्न 3. एक संख्या को पहले 10% बढ़ाया जाता है और फिर 10% घटाया जाता है। संख्या में शुद्ध परिवर्तन प्रतिशत क्या होगा?
मान लीजिए प्रारंभिक संख्या = 100.
10% बढ़ाने पर संख्या = 110.
अब 110 को 10% घटाने पर = 110 – 11 = 99.
कुल परिवर्तन = 100 से घटकर 99 हुआ, यानी 1% की कमी।
शॉर्टकट सूत्र: x + y + (xy / 100) ⇒ 10 – 10 + (10 × -10)/100 = -1% (यानी 1% हानि/कमी)।
10% बढ़ाने पर संख्या = 110.
अब 110 को 10% घटाने पर = 110 – 11 = 99.
कुल परिवर्तन = 100 से घटकर 99 हुआ, यानी 1% की कमी।
शॉर्टकट सूत्र: x + y + (xy / 100) ⇒ 10 – 10 + (10 × -10)/100 = -1% (यानी 1% हानि/कमी)।
प्रश्न 4. चीनी के मूल्य में 25% की वृद्धि होती है। एक गृहिणी को इसकी खपत में कितने प्रतिशत की कमी करनी चाहिए ताकि चीनी पर होने वाला खर्च समान रहे?
चीनी के मूल्य में वृद्धि (R) = 25%.
खपत में आवश्यक कमी% = [ R / (100 + R) ] × 100
= [ 25 / (100 + 25) ] × 100 = (25 / 125) × 100 = (1 / 5) × 100 = 20%.
खपत में आवश्यक कमी% = [ R / (100 + R) ] × 100
= [ 25 / (100 + 25) ] × 100 = (25 / 125) × 100 = (1 / 5) × 100 = 20%.
प्रश्न 5. एक परीक्षा में 35% छात्र हिंदी में फेल हुए, 45% अंग्रेजी में फेल हुए और 20% दोनों विषयों में फेल हुए। दोनों विषयों में पास होने वाले छात्रों का प्रतिशत क्या है?
वेन आरेख विधि या सेट थ्योरी से:
कुल फेल छात्र = (केवल हिंदी में फेल) + (केवल अंग्रेजी में फेल) + (दोनों में फेल)
कुल फेल छात्र = (35 – 20) + (45 – 20) + 20
= 15% + 25% + 20% = 60%.
दोनों विषयों में पास छात्र = 100% – कुल फेल छात्र = 100% – 60% = 40%.
कुल फेल छात्र = (केवल हिंदी में फेल) + (केवल अंग्रेजी में फेल) + (दोनों में फेल)
कुल फेल छात्र = (35 – 20) + (45 – 20) + 20
= 15% + 25% + 20% = 60%.
दोनों विषयों में पास छात्र = 100% – कुल फेल छात्र = 100% – 60% = 40%.
प्रश्न 6. एक कस्बे की जनसंख्या 10,000 है। यदि पहले वर्ष इसमें 10% की वृद्धि और दूसरे वर्ष 20% की वृद्धि होती है, तो 2 वर्ष बाद जनसंख्या कितनी होगी?
प्रारंभिक जनसंख्या = 10,000.
1 वर्ष बाद जनसंख्या = 10,000 का 110% = 11,000.
2 वर्ष बाद जनसंख्या = 11,000 का 120% = 11,000 × (120 / 100) = 13,200.
वैकल्पिक विधि: 10,000 × (1.10) × (1.20) = 13,200.
1 वर्ष बाद जनसंख्या = 10,000 का 110% = 11,000.
2 वर्ष बाद जनसंख्या = 11,000 का 120% = 11,000 × (120 / 100) = 13,200.
वैकल्पिक विधि: 10,000 × (1.10) × (1.20) = 13,200.
प्रश्न 7. एक छात्र को पास होने के लिए कुल 40% अंकों की आवश्यकता है। उसने 178 अंक प्राप्त किए और वह 22 अंकों से अनुत्तीर्ण (फेल) हो गया। परीक्षा के अधिकतम अंक ज्ञात कीजिए।
उत्तीर्ण होने के लिए आवश्यक अंक = प्राप्त अंक + फेल होने के अंतर अंक
पासिंग मार्क्स = 178 + 22 = 200 अंक।
दिया गया है कि परीक्षा का 40% = 200 अंक।
अधिकतम अंक (100%) = (200 / 40) × 100 = 5 × 100 = 500 अंक।
पासिंग मार्क्स = 178 + 22 = 200 अंक।
दिया गया है कि परीक्षा का 40% = 200 अंक।
अधिकतम अंक (100%) = (200 / 40) × 100 = 5 × 100 = 500 अंक।
प्रश्न 8. यदि एक वर्ग की प्रत्येक भुजा में 20% की वृद्धि की जाती है, तो उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा (दो आयामी वृद्धि)
यहाँ x = 20% और y = 20% है।
क्षेत्रफल में कुल प्रतिशत वृद्धि = [ x + y + (x × y) / 100 ]%
= [ 20 + 20 + (20 × 20) / 100 ] = 40 + 4 = 44%.
यहाँ x = 20% और y = 20% है।
क्षेत्रफल में कुल प्रतिशत वृद्धि = [ x + y + (x × y) / 100 ]%
= [ 20 + 20 + (20 × 20) / 100 ] = 40 + 4 = 44%.
प्रश्न 9. एक व्यक्ति के वेतन में 20% की कमी की गई। उसके पुराने वेतन को पुनः प्राप्त करने के लिए नए वेतन को कितने प्रतिशत बढ़ाना होगा?
मान लीजिए प्रारंभिक वेतन = ₹100.
कमी के बाद नया वेतन = ₹80.
पुराना वेतन पाने के लिए वृद्धि आवश्यक = ₹20 की।
वृद्धि प्रतिशत (नए वेतन पर) = (20 / 80) × 100 = 25%.
कमी के बाद नया वेतन = ₹80.
पुराना वेतन पाने के लिए वृद्धि आवश्यक = ₹20 की।
वृद्धि प्रतिशत (नए वेतन पर) = (20 / 80) × 100 = 25%.
प्रश्न 10. ताजे फलों में 68% पानी होता है और सूखे फलों में 20% पानी होता है। 100 किलोग्राम ताजे फलों से कितना सूखा फल प्राप्त किया जा सकता है?
याद रखें, ताजे से सूखा फल बनते समय केवल पानी उड़ता है, फलों का गूदा (Pulp) समान रहता है।
ताजे फल में गूदा का हिस्सा = 100% – 68% = 32%.
100 kg ताजे फल में गूदे का कुल वजन = 100 kg का 32% = 32 kg.
सूखे फल में गूदे का हिस्सा = 100% – 20% = 80%.
मान लीजिए प्राप्त सूखे फल का वजन = D kg.
D का 80% = 32 kg ⇒ D × (80 / 100) = 32 ⇒ D = (32 × 100) / 80 = 40 kg.
ताजे फल में गूदा का हिस्सा = 100% – 68% = 32%.
100 kg ताजे फल में गूदे का कुल वजन = 100 kg का 32% = 32 kg.
सूखे फल में गूदे का हिस्सा = 100% – 20% = 80%.
मान लीजिए प्राप्त सूखे फल का वजन = D kg.
D का 80% = 32 kg ⇒ D × (80 / 100) = 32 ⇒ D = (32 × 100) / 80 = 40 kg.
प्रश्न 11. एक मिश्र धातु में 12% तांबा है। 69 किलोग्राम तांबा प्राप्त करने के लिए कितनी मिश्र धातु की आवश्यकता होगी?
मान लीजिए आवश्यक मिश्र धातु का कुल वजन = x kg है।
मिश्र धातु का 12% = 69 kg
⇒ (x × 12) / 100 = 69
⇒ x = (69 × 100) / 12 = 575 kg.
मिश्र धातु का 12% = 69 kg
⇒ (x × 12) / 100 = 69
⇒ x = (69 × 100) / 12 = 575 kg.
प्रश्न 12. एक व्यक्ति अपनी आय का 75% खर्च करता है। यदि उसकी आय में 20% की वृद्धि होती है और उसकी बचत में 10% की वृद्धि होती है, तो उसके खर्च में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
मान लीजिए प्रारंभिक आय = ₹100.
खर्च = ₹75, बचत = ₹25.
नई आय (20% वृद्धि) = ₹120.
नई बचत (10% वृद्धि) = 25 का 110% = ₹27.5.
नया खर्च = नई आय – नई बचत = 120 – 27.5 = ₹92.5.
खर्च में वृद्धि = 92.5 – 75 = ₹17.5.
खर्च में प्रतिशत वृद्धि = (17.5 / 75) × 100 = (17.5 / 3) × 4 = 23.33%.
खर्च = ₹75, बचत = ₹25.
नई आय (20% वृद्धि) = ₹120.
नई बचत (10% वृद्धि) = 25 का 110% = ₹27.5.
नया खर्च = नई आय – नई बचत = 120 – 27.5 = ₹92.5.
खर्च में वृद्धि = 92.5 – 75 = ₹17.5.
खर्च में प्रतिशत वृद्धि = (17.5 / 75) × 100 = (17.5 / 3) × 4 = 23.33%.
प्रश्न 13. एक पुस्तक की कीमत में पहले 25% की कमी की जाती है और फिर 20% की वृद्धि की जाती है। पुस्तक की कीमत में शुद्ध परिवर्तन क्या होगा?
मान लीजिए पुस्तक का प्रारंभिक मूल्य = ₹100.
25% की कमी के बाद मूल्य = ₹75.
अब ₹75 पर 20% की वृद्धि = 75 + (75 का 20%) = 75 + 15 = ₹90.
मूल्य में कुल शुद्ध परिवर्तन = 100 से घटकर 90 हुआ, यानी 10% की कमी।
25% की कमी के बाद मूल्य = ₹75.
अब ₹75 पर 20% की वृद्धि = 75 + (75 का 20%) = 75 + 15 = ₹90.
मूल्य में कुल शुद्ध परिवर्तन = 100 से घटकर 90 हुआ, यानी 10% की कमी।
प्रश्न 14. श्रीमान कपूर अपनी कुल आय का 20% घर के किराए पर और शेष का 70% घरेलू खर्चों पर खर्च करते हैं। यदि वे प्रति माह ₹1,800 की बचत करते हैं, तो उनकी कुल मासिक आय क्या है?
मान लीजिए कुल आय = x.
किराए पर 20% खर्च करने के बाद शेष आय = x का 80%.
इस शेष का 70% खर्च होता है, तो शेष की बचत = 100% – 70% = 30%.
अतः, कुल बचत = x × (80 / 100) × (30 / 100) = ₹1,800.
⇒ x × 0.8 × 0.3 = 1800
⇒ x × 0.24 = 1800 ⇒ x = 1800 / 0.24 = ₹7,500.
किराए पर 20% खर्च करने के बाद शेष आय = x का 80%.
इस शेष का 70% खर्च होता है, तो शेष की बचत = 100% – 70% = 30%.
अतः, कुल बचत = x × (80 / 100) × (30 / 100) = ₹1,800.
⇒ x × 0.8 × 0.3 = 1800
⇒ x × 0.24 = 1800 ⇒ x = 1800 / 0.24 = ₹7,500.
प्रश्न 15. यदि किसी भिन्न (Fraction) के अंश (Numerator) को 200% बढ़ाया जाता है और उसके हर (Denominator) को 150% बढ़ाया जाता है, तो परिणामी भिन्न 9/35 हो जाती है। मूल भिन्न क्या है?
मान लीजिए मूल भिन्न x/y है।
अंश को 200% बढ़ाने पर वह स्वयं का 300% हो जाएगा = 300x.
हर को 150% बढ़ाने पर वह स्वयं का 250% हो जाएगा = 250y.
अतः, (300x / 250y) = 9 / 35
⇒ (6x / 5y) = 9 / 35
⇒ x/y = (9/35) × (5/6) = (3/7) × (1/2) = 3 / 14.
अतः, मूल भिन्न 3/14 है।
अंश को 200% बढ़ाने पर वह स्वयं का 300% हो जाएगा = 300x.
हर को 150% बढ़ाने पर वह स्वयं का 250% हो जाएगा = 250y.
अतः, (300x / 250y) = 9 / 35
⇒ (6x / 5y) = 9 / 35
⇒ x/y = (9/35) × (5/6) = (3/7) × (1/2) = 3 / 14.
अतः, मूल भिन्न 3/14 है।