Probability (प्रायिकता)
संपूर्ण चैप्टर गाइड, प्रकार, और अभ्यास प्रश्न
1. Chapter Details (अध्याय का विवरण)
प्रायिकता (Probability): किसी घटना के घटने की संभावना के गणितीय माप को प्रायिकता कहते हैं। प्रायिकता का मान हमेशा 0 और 1 के बीच (0 तथा 1 सहित) होता है। यदि कोई घटना असंभव है तो उसकी प्रायिकता 0 होगी और यदि निश्चित है तो 1 होगी।
1. P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या, n(E)) / (कुल संभव परिणामों की संख्या, n(S))
2. किसी घटना के होने और न होने की प्रायिकता का योग: P(E) + P(E’) = 1
3. सिक्का (Coins): 1 सिक्का ⇒ 2 परिणाम (H, T); n सिक्के ⇒ 2n परिणाम
4. पासा (Dice): 1 पासा ⇒ 6 परिणाम; n पासे ⇒ 6n परिणाम
5. ताश के पत्ते (Playing Cards): कुल 52 पत्ते (26 लाल + 26 काले), 4 सूट (13-13 पत्ते प्रत्येक)
2. Exam Importance (परीक्षा में महत्व)
प्रायिकता गणित का एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है जो विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछा जाता है:
- Banking (IBPS PO/Clerk, SBI PO, RBI): Quant सेक्शन में 1-3 प्रश्न निश्चित रूप से पूछे जाते हैं। Data Interpretation (DI) में भी प्रायिकता पर आधारित प्रश्न बनते हैं।
- SSC (CGL Tier-2, CHSL): नए पैटर्न के अनुसार प्रायिकता से 1-2 प्रश्न पूछे जा रहे हैं।
- Railway (RRB NTPC, Group D): 1-2 सीधे प्रश्न सिक्कों, पासों और गेंदों पर आधारित पूछे जाते हैं।
- State Exams & Defence (UPSC CSAT, NDA, State PSC): अवधारणात्मक एवं तार्किक प्रश्न पूछे जाते हैं।
नोट: इस चैप्टर में कम समय में अधिक अंक प्राप्त किए जा सकते हैं क्योंकि इसके सूत्र बहुत सीधे और स्पष्ट होते हैं।
3. Types of Questions with Examples
प्रकार 1: सिक्कों पर आधारित प्रश्न (Coins Based)
उदाहरण: दो निष्पक्ष सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। कम से कम एक Head (चित्त) आने की प्रायिकता क्या है?
हल: कुल परिणाम (S) = {HH, HT, TH, TT} ⇒ n(S) = 4। अनुकूल परिणाम (E) = {HH, HT, TH} ⇒ n(E) = 3। प्रायिकता P(E) = 3/4
प्रकार 2: पासा आधारित प्रश्न (Dice Based)
उदाहरण: एक पासे को फेंकने पर 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता क्या होगी?
हल: n(S) = 6 {1, 2, 3, 4, 5, 6}। अनुकूल संख्याएं = {5, 6} ⇒ n(E) = 2। P(E) = 2/6 = 1/3
प्रकार 3: ताश के पत्तों पर आधारित प्रश्न (Cards Based)
उदाहरण: 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। उसके बादशाह (King) होने की प्रायिकता क्या है?
हल: कुल पत्ते = 52, कुल बादशाह = 4। P(King) = 4/52 = 1/13
प्रकार 4: थैले/गेंदों पर आधारित प्रश्न (Balls/Marbles Based)
उदाहरण: एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। दो गेंदें निकाली जाती हैं, दोनों के लाल होने की प्रायिकता क्या है?
हल: कुल गेंदें = 8। P = 3C2 / 8C2 = 3 / 28
प्रकार 5: विषम दिन एवं कैलेंडर (Calendar & Miscellaneous)
उदाहरण: एक गैर-लीप वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल: 365 दिन = 52 सप्ताह + 1 अतिरिक्त दिन। यह 1 दिन रविवार होने की प्रायिकता = 1/7